Numerical solution of the real-linear equations of electrical impedance tomography for nonsmooth conductivities

Allan Perämäki

Numerical solution of the real-linear equations of electrical impedance tomography for nonsmooth conductivities

Julkaisun otsikon käännös: Epäsileiden johtavuuksien sähköisen impedanssitomografian reaalilineaaristen yhtälöiden numeerinen ratkaisu

Allan Perämäki

Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Tutkimustuotos: Doctoral Thesis › Collection of Articles

Abstrakti

Väitöskirjassa tutkitaan erään diskretoidun reaalilineaarisen Beltramin yhtälön numeerista ratkaisemista ja suppenemista. Tämä yhtälö esiintyy Astalan ja Päivärinnan kaksiulotteisen sähköisen impedanssitomografian ongelman yksikäsitteisyystodistuksessa epäsileille johtavuuksille. Diskretoitua Beltramin yhtälöä vastaava reaalilineaarinen matriisiyhtälön nähdään olevan soveltuvaa muotoa Eirolan, Huhtasen ja von Pfalerin reaalilineaarisen GMRES (Generalized Minimal Residual) -menetelmän käytölle. Tulokset sisältävät nopean numeerisen ratkaisumenetelmän diskretoidulle reaalilineaariselle Beltramin yhtälölle ja Astalan-Päivärinnan todistukseen perustuvan menetelmän toteutuksen. Diskretoidun Beltramin yhtälön ratkaisun osoitetaan suppenevan oikeaan ratkaisuun hilaa tihennettäessä sisältäen myös suppenemisnopeuden arvion. Reaalilineaarisen GMRES-menetelmän jäännösvektoreiden normeille osoitetaan yläraja-arvio kompleksitason polynomiapproksimaatiotehtävän suhteen muistuttaen klassisen GMRES-menetelmän tilannetta. Lisäksi kompleksisymmetrisille matriiseille osoitetaan klassista hermiittisten matriisien Lanczosin matemaattista viitekehystä vastaavan kehyksen olemassaolo.

Julkaisun otsikon käännös	Epäsileiden johtavuuksien sähköisen impedanssitomografian reaalilineaaristen yhtälöiden numeerinen ratkaisu
Alkuperäiskieli	Englanti
Pätevyys	Tohtorintutkinto
Myöntävä instituutio	Aalto-yliopisto
Valvoja/neuvonantaja	Nevanlinna, Olavi, Vastuuprofessori Huhtanen, Marko, Ohjaaja
Kustantaja	Aalto University
Painoksen ISBN	978-952-60-4723-2
Sähköinen ISBN	978-952-60-4724-9
Tila	Julkaistu - 2012
OKM-julkaisutyyppi	G5 Artikkeliväitöskirja

Tutkimusalat

inversio-ongelma
Beltramin yhtälö
iteratiiviset menetelmät
diskreetti suppeneminen
ortogonaaliset polynomit
Jacobin matriisi
kondiagonalisoituva

Pääsy asiakirjaan

http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-4724-9

Siteeraa tätä

@phdthesis{09546b59f738458cb3c986e06e3bbb0f,

title = "Numerical solution of the real-linear equations of electrical impedance tomography for nonsmooth conductivities",

abstract = "This thesis studies the numerical solution and convergence of a certain discretized real-linear Beltrami equation. This equation arises in the uniqueness proof by Astala and P{\"a}iv{\"a}rinta for the two-dimensional electrical impedance tomography problem with nonsmooth conductivities. The real-linear matrix equation appearing after discretizing the Beltrami equation is found to have the form appropriate for the application of the real-linear Generalized Minimal Residual (GMRES) method published by Eirola, Huhtanen and von Pfaler. The findings include a fast numerical solution method for the discretized real-linear Beltrami equation, and an implementation of a reconstruction method based on the Astala-P{\"a}iv{\"a}rinta uniqueness proof. The solution of the discretized Beltrami equation is shown to converge to the correct solution as the grid is refined, including a convergence rate estimate. For the real-linear GMRES method, the norms of the residuals are bounded in terms of a polynomial approximation problem on the complex plane resembling the situation of classical GMRES. Moreover, complex symmetric matrices are shown to possess a mathematical framework analogous to the classical Hermitian Lanczos framework.",

keywords = "inverse problem, Beltrami equation, iterative methods, discrete convergence, orthogonal polynomials, Jacobi matrix, condiagonalizable, inversio-ongelma, Beltramin yht{\"a}l{\"o}, iteratiiviset menetelm{\"a}t, diskreetti suppeneminen, ortogonaaliset polynomit, Jacobin matriisi, kondiagonalisoituva, inverse problem, Beltrami equation, iterative methods, discrete convergence, orthogonal polynomials, Jacobi matrix, condiagonalizable",

author = "Allan Per{\"a}m{\"a}ki",

year = "2012",

language = "English",

isbn = "978-952-60-4723-2",

series = "Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS",

publisher = "Aalto University",

number = "100",

address = "Finland",

school = "Aalto University",

}

TY - BOOK

T1 - Numerical solution of the real-linear equations of electrical impedance tomography for nonsmooth conductivities

AU - Perämäki, Allan

PY - 2012

Y1 - 2012

N2 - This thesis studies the numerical solution and convergence of a certain discretized real-linear Beltrami equation. This equation arises in the uniqueness proof by Astala and Päivärinta for the two-dimensional electrical impedance tomography problem with nonsmooth conductivities. The real-linear matrix equation appearing after discretizing the Beltrami equation is found to have the form appropriate for the application of the real-linear Generalized Minimal Residual (GMRES) method published by Eirola, Huhtanen and von Pfaler. The findings include a fast numerical solution method for the discretized real-linear Beltrami equation, and an implementation of a reconstruction method based on the Astala-Päivärinta uniqueness proof. The solution of the discretized Beltrami equation is shown to converge to the correct solution as the grid is refined, including a convergence rate estimate. For the real-linear GMRES method, the norms of the residuals are bounded in terms of a polynomial approximation problem on the complex plane resembling the situation of classical GMRES. Moreover, complex symmetric matrices are shown to possess a mathematical framework analogous to the classical Hermitian Lanczos framework.

AB - This thesis studies the numerical solution and convergence of a certain discretized real-linear Beltrami equation. This equation arises in the uniqueness proof by Astala and Päivärinta for the two-dimensional electrical impedance tomography problem with nonsmooth conductivities. The real-linear matrix equation appearing after discretizing the Beltrami equation is found to have the form appropriate for the application of the real-linear Generalized Minimal Residual (GMRES) method published by Eirola, Huhtanen and von Pfaler. The findings include a fast numerical solution method for the discretized real-linear Beltrami equation, and an implementation of a reconstruction method based on the Astala-Päivärinta uniqueness proof. The solution of the discretized Beltrami equation is shown to converge to the correct solution as the grid is refined, including a convergence rate estimate. For the real-linear GMRES method, the norms of the residuals are bounded in terms of a polynomial approximation problem on the complex plane resembling the situation of classical GMRES. Moreover, complex symmetric matrices are shown to possess a mathematical framework analogous to the classical Hermitian Lanczos framework.

KW - inverse problem

KW - Beltrami equation

KW - iterative methods

KW - discrete convergence

KW - orthogonal polynomials

KW - Jacobi matrix

KW - condiagonalizable

KW - inversio-ongelma

KW - Beltramin yhtälö

KW - iteratiiviset menetelmät

KW - diskreetti suppeneminen

KW - ortogonaaliset polynomit

KW - Jacobin matriisi

KW - kondiagonalisoituva

KW - inverse problem

KW - Beltrami equation

KW - iterative methods

KW - discrete convergence

KW - orthogonal polynomials

KW - Jacobi matrix

KW - condiagonalizable

M3 - Doctoral Thesis

SN - 978-952-60-4723-2

T3 - Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS

PB - Aalto University

ER -

Numerical solution of the real-linear equations of electrical impedance tomography for nonsmooth conductivities

Abstrakti

Tutkimusalat

Pääsy asiakirjaan

Sormenjälki

Siteeraa tätä