Kernel-Based and Bayesian Methods for Numerical Integration

Tutkimustuotos

Tutkijat

  • Toni Karvonen

Organisaatiot

Kuvaus

Ydinperusteiset menetelmät ovat joustava joukko lineaarifunktioiden approksimointia varten kehitettyjä algoritmeja. Mikä tärkeintä, näillä menetelmillä on todennäköisyysteoreettinen tulkinta: menetelmä, joka on pahimmassa tapauksessa optimaalinen reproduktiivisen ytimen Hilbertin avaruudessa, on mahdollista ilmaista täysin ekvivalentista gaussisen prosessin posteriorikeskiarvona ja sen pahimman tapauksen virhe vastaavana posteriorikeskihajontana. Tämä yhteys mahdollistaa ydinmenetelmän tuottaman approksimaation epävarmuudesta puhumisen ja mallintamisen tilastollisesti merkityksellisesti. Täten ydinmenetelmät voi nähdä probabilistisina numeerisina menetelminä, jotka käsittelevät numeerista approksimaatiota tilastollisena päättelynä ja pyrkivät varustamaan ongelman ratkaisun epädegeneroituneella posterioritodennäköisyysjakaumalla. Sekä ytimiin että gaussisiin prosesseihin perustuvat approksimaatiomenetelmät kärsivät kuutiollisesta aika- ja neliöllisestä tilavaativuudesta. Ydinperusteiset menetelmät eivät myöskään tavanomaisessa muodossaan tyypillisesti samanaikaisesti vastaa ''klassisia'' numeerisen analyysin menetelmiä ja epädegeneroituneita gaussisten prosessien posteriorijakaumia (splinimenetelmiä lukuunottamatta), joten klassisia menetelmiä ei ole ollut mahdollista tulkita hyödyllisinä tilastollisen päättelyn menetelminä gaussisia prosesseja käyttäen. Tämä väitöskirja tutkii suljettua muotoa vailla olevien integraalien approksimointia käyttäen ydinperusteisia ja bayesilaisia kubatuurisääntöjä, joista edelliset ovat pahimmassa tapauksessa optimaalisia ja jälkimmäiset gaussisten prosessien posteriorijakaumia. Väitöskirjan ensimmäinen kontribuutio on laskennallisesti tehokkaiden algoritmien kehittäminen näitä kubatuurimenetelmiä varten käyttäen pistejoukkoja, jotka ovat täysin symmetristen pistejoukkojen yhdisteitä. Näin kehitetty algoritmi ei hyödynnä approksimaatioita, on laskennallisesti kilpailukykyinen, skaalautuva, joustava ja toteutukseltaan yksinkertainen, mahdollistaen ydinperusteisten ja bayesilaisten kubatuurimenetelmien soveltamisen integrointiongelmiin, joissa on käytettävä jopa miljoonia datapisteitä. Lisäki yksiulotteiseen integrointiin gaussisen mitan suhteen kehitetään erilainen suljetussa muodossa ilmaistavissa oleva approksimaatio, joka perustuu Gaussin–Hermiten kvadratuuriin. Väitöskirjan toinen pääkontribuutio liittyy erilaisten ydinten ja gaussisten prosessimallien käyttöön klassisten kubatuurisääntöjen, kuten Gaussin kubatuurien ja Monte Carlo -sääntöjen, tulkitsemisessa bayesilaisina kubatuurisääntöinä. Väitöskirjassa tätä varten kehitetyllä Bayesin–Sardin menetelmällä voi tulkita probabilistisesti lähes minkä tahansa kubatuurisäännön.

Yksityiskohdat

AlkuperäiskieliEnglanti
PätevyysTohtorintutkinto
Myöntävä instituutio
Valvoja/neuvonantaja
Kustantaja
  • Aalto University
Painoksen ISBN978-952-60-8703-0
Sähköinen ISBN978-952-60-8704-7
TilaJulkaistu - 2019
OKM-julkaisutyyppiG5 Tohtorinväitöskirja (artikkeli)

    Tutkimusalat

  • numeerinen integrointi, reproduktiivisen ytimen Hilbertin avaruudet, gaussiset prosessit, probabilistinen numeriikka

ID: 37538983