Satunnaiskäyrien ja korrelaatioiden konformi-invariantteja skaalausrajoja

Alex Karrila

Tutkimustuotos: Doctoral ThesisCollection of Articles

Abstrakti

Väitöskirjassa tutkitaan tasoverkoilla määriteltyjen kriittisten satunnaismallien skaalausrajoja, joissa pienenevän hilavälin verkot approksimoivat tasoaluetta. Kvanttikenttäteorian keinoin on ennustettu yksinkertaisten kombinatoristen mallien skaalausrajoille monimutkaisia konformi-invariantteja rakenteita. Väitöskirjassa skaalausrajoja tutkitaan matemaattisesta näkökulmasta ja tulokset muotoillaan joko SLE-tyyppisten konformi-invarianttien satunnaiskäyrien tai eräiden fysiikassa reunakorrelaatiofunktioiksi kutsuttujen odotusarvojen kautta. Väitöskirjatyön ensimmäisessä julkaisussa tutkitaan kahta läheisesti toisiinsa liittyvää satunnaismallia: tasajakautunutta virittäjäpuuta ja silmukkapyyhittyä satunnaiskävelyä. Eräille tasajakautuneen virittäjäpuun oksien yhdistymistodennäköisyyksille sekä silmukkapyyhityn satunnaiskävelyn reunavierailutodennäköisyyksille johdetaan skaalausrajalla konformikovariantit lausekkeet. Nämä lausekkeet ovat toisen ja kolmannen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuja, joita kutsutaan konformikenttäteoriassa reunakorrelaatiofunktioiksi. Konformikenttäteorian keinoin on ennustettu mielivaltaisen korkean kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, ja työssä saatu tulos on ensimmäisiä matemaattisia todistuksia korkeamman kuin toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille. Yllä mainitut osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisut voidaan myös tulkita painoina, joiden odotetaan muuntavan tasajakautuneen virittäjäpuun oksan sekä silmukkapyyhityn satunnaiskävelyn SLE(2)-skaalausrajan moni-SLE(2)-kokoelman satunnaiskäyräksi tai reunavierailevaksi SLE(2)-satunnaiskäyräksi. Väitöskirjatyön toisessa julkaisussa tutkitaan tätä konformikenttäteorian ja satunnaisgeometrian välistä yhteyttä. Siinä eräiden puhtaiksi partitiofunktioiksi kutsuttujen moni-SLE(k)-painofunktioiden sekä eräiden konformiblokkifunktioiksi kutsuttujen konformikenttäteorian reunakorrelaatiofunktioiden välille johdetaan eksplisiittinen yhteys. Väitöskirjatyön kolmas ja neljäs julkaisu käsittelevät tasoverkkojen satunnaismalleista saatavien käyräkokoelmien heikkoa suppenemista moni-SLE-tyyppisiin satunnaiskäyräkokoelmiin. Ensimmäiseksi johdetaan tulos, joka takaa verkon satunnaskäyräkokoelmien heikkojen osajonorajojen olemassaolon eräiden vakiintuneiden ylitystodennäköisyysestimaattien ollessa voimassa diskreeteille käyrille. Tämän jälkeen näytetään, miten näin saatavat rajat voidaan kuvailla iteroidulla satunnaisotannalla, jossa käyrät kasvatetaan yksi kerrallaan yllä mainituista painotetuista yhden satunnaiskäyrän SLE(k)-mitoista. Näitä kahta tulosta sovelletaan satunnaiskäyräkokoelmien skaalausrajojen karakterisoimiseen useille tasoverkkojen satunnaismalleille, kuten tasajakautuneen virittäjäpuun oksille.
Julkaisun otsikon käännösSatunnaiskäyrien ja korrelaatioiden konformi-invariantteja skaalausrajoja
AlkuperäiskieliEnglanti
PätevyysTohtorintutkinto
Myöntävä instituutio
  • Aalto-yliopisto
Valvoja/neuvonantaja
  • Kytölä, Kalle, Vastuuprofessori
Kustantaja
Painoksen ISBN978-952-60-8631-6
Sähköinen ISBN978-952-60-8632-3
TilaJulkaistu - 2019
OKM-julkaisutyyppiG5 Tohtorinväitöskirja (artikkeli)

Tutkimusalat

  • skaalausrajat
  • hilamallit
  • satunnaiskäyrät
  • SLE
  • konformikenttäteoria
  • silmukkapyyhitty satunnaiskävely

Sormenjälki Sukella tutkimusaiheisiin 'Satunnaiskäyrien ja korrelaatioiden konformi-invariantteja skaalausrajoja'. Ne muodostavat yhdessä ainutlaatuisen sormenjäljen.

Siteeraa tätä