Ominaisarvoanalyysin geometrinen tulkinta

Alexis Fedoroff

Tutkimustuotos: Doctoral ThesisMonograph

Abstrakti

Väitöstyössä selvennetään differentiaaligeometrian menetelmin epälineaarisen ominaisarvoanalyysin aspekteja. Epälineaarinen ominaisarvotehtävä on yleistys lineaarisesta ominaisarvotehtävästä siten, että bifurkaatioparametrin suhteen korkeampaa astetta olevat matriisitermit otetaan huomioon. Kyseinen tehtävä esiintyy dynaamisten systeemien tasapainopistejoukkojen singulaarisuustarkasteluissa, sillä suurelle osalle fysikaalisista ongelmista ominaisarvotehtävään liittyvä ominaisavaruus antaa bifurkoivan suunnan sigulaaripisteeseen piirretyllä tangenttikartiolla. Keskeiseksi tutkimusongelmaksi nousee siten ominaisavaruuden herkkyys dynaamisen systeemin sisäisten parametrien vaihtelulle. Tässä työssä tarkastellaan erityisesti tapausta, jossa parametrien vaihtelu liittyy siihen, että epälineaarisen ominaisarvotehtävän sijaan käytetään linearisoitua ominaisarvotehtävää. Näin ollen on tärkeää tietää kuinka paljon linearisoidun ominaisarvotehtävän ominaisavaruus poikkeaa epälineaarisen ominaisarvotehtävän ominaisavaruudesta. Differentiaaligeometrian työkaluilla on työssä olennainen rooli. Bifurkaatioparametrista riippuva tasapainofunktioiden jakobiaanimatriisi evaluoidaan primääritasapainopolulla ja se määrittää ominaisarvotehtävän. Parametririippuva jakobiaanimatriisi voidaan geometrisesti tulkita sileäksi käyräksi matriisiavaruudessa, jakobiaanikäyräksi. Bifurkaatiopisteessä jakobiaani on rangivajaa, joten geometrisesti epälineaarinen ominaisarvotehtävä voidaan tulkita matriisiavaruuteen upotetun jakobiaanikäyrän ja vakiorangimatriisimoniston leikkauspisteeksi. Tätä leikkauspistettä voidaan ajatella keskipisteeksi vakiorangimatriisimonistolle piirretyle pallolle, jossa monistolla olevien pisteiden väliset etäisyydet lasketaan Riemannin etäisyysfunktion avulla. Ominaisarvoanalyysin geometrinen tulkinta mahdollistaa sen, että ominaisavaruutta voidaan tarkastella sileänä kuvauksena - ominaisavaruuskuvauksena - vakiorangimatriisimonistolta projektiiviseen avaruuteen. Tästä seuraa, että ominaisavaruuskuvauksen herkkyys määritellään kahden etäisyyden osamääränä. Nimittäjässä on Riemannin etäisyys pallon keskipisteestä reunapisteelle, eli pallon säde. Osoittajassa taas on etäisyys projektiivisessa avaruudessa vastaaville ominaisavaruuksille. Työn lopussa annetaan numeerisia esimerkkejä kuinka soveltaa ominaisarvokuvauksen herkkyysanalyysiä rakenteiden stabiiliusongelmiin.
Julkaisun otsikon käännösOminaisarvoanalyysin geometrinen tulkinta
AlkuperäiskieliEnglanti
PätevyysTohtorintutkinto
Myöntävä instituutio
  • Aalto-yliopisto
Valvoja/neuvonantaja
  • Paavola, Juha, Valvoja
  • Kouhia, Reijo, Ohjaaja
Kustantaja
Painoksen ISBN978-952-60-6630-1
Sähköinen ISBN978-952-60-6629-5
TilaJulkaistu - 2016
OKM-julkaisutyyppiG4 Tohtorinväitöskirja (monografia)

Tutkimusalat

  • dynaamiset systeemit
  • tasapainopistejoukot
  • singulaariset pisteet
  • tangenttikartiot
  • bifurkoivat suunnat
  • epälineaariset ominaisarvotehtävät
  • ominaisavaruuskuvaus
  • vakiorangimatriisimonisto
  • pallot vakiorangimatriisimonistoilla
  • lokaali herkkyysanalyysi

Sormenjälki Sukella tutkimusaiheisiin 'Ominaisarvoanalyysin geometrinen tulkinta'. Ne muodostavat yhdessä ainutlaatuisen sormenjäljen.

  • Siteeraa tätä